Rumus Deret Aritmatika

Rumus Deret Aritmatika : Barisan, Bentuk, Contoh Soal Dan Jawaban – Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret..  Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan

Pengertian Aritmatika

Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.

Barisan Aritmatika

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap.

---

Rumusan Barisan Aritmatika

Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut :
U1, U2, U3, ….Un
a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b
Selisih (beda) dinyatakan dengan b

---

b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a + (n-1) b

---

Keterangan :
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama → U1 = a
b = selisih/beda

---

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

---

Bentuk Barisan Aritmatika

---

Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n

---

Contoh Barisan Aritmatika

1. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …
   Penyelesaian:
   a = 3
   b = 4

---

2. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, …
   Tentukan: Nilai suku ke-15 !
   Penyelesaian:

---

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:

---

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c.

---

Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar.

---

Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.

---

Suatu barisan U₁, U₂, U₃,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).

---

3, 7, 11, 15, 19, …

Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka

---

U₁ = 3 =+ 4 (0)
U₂ = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)
U₃ = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)
….
U_n = 3 + 4(n-1)

---

Secara umum, jika suku pertama (U₁) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

---

U_n = a + b(n-1)

---

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

---

        U₁, U₂, U₃, …….U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ – U₁ = U₃ – U₂ = …. = U_n – U_n-1 = konstanta
Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

---

Contoh Barisan Aritmatika :

Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, …

---

Jawab:

n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1)4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58

---

Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

1. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
2. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
   

   ---

Jawab :

• Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

U_n   = a + (n – 1)b
U₁₀  = 3 + (10 – 1)5
= 3 + 9 x 5
= 3 + 45
= 48
U_n   = a + (n – 1)b
= 3 + (n – 1)5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2

---

1. Misalkan U_n = 198, maka berlaku :

U_n  = 198
5n – 2 = 198
5n  = 200
n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika.

---

Rumus Deret Aritmatika

Bentuk umum deret aritmatika :
a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b )

---

Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmatika dirumuskan dengan:
Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )

---

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika.

---

Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).

---

3 +7 + 1l + 15 + 19 + …
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :

---

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

---

---

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

---

Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:

---

Keterangan:

b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

---

Contoh Sisipan Barisan Aritmatika

Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

---

Penyelesaian:
Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116

a = 20
Un = 116
n = 2
k = 11 bilangan
banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k
= 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13

Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

---

Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

---

Jawab:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

---

1. Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..

a). -550
b). -250
c). -75
d). -115
c). -250

---

Penyelesaian :

a = 20
b = U2-U1
   = 15-20
   =   -5
Sn =  n (a + Un)
Un = a + (n – 1) b
U20 = 20 + (20-1)(-5)
        = 20 + (19) (-5)
        = 20 – 95
        = – 75
S20 =  . 20 (20 + (-75))
       = 10 (-55)
S20 = – 550

Jawaban : A

---

2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..
a). 105
b). 120
c). 150
d). 155
e). 165

---

Penyelesaian :

a = 3
b = U3 – U2 – 1
   = U3 – U2
   = 7 – 5
 = 2
Sn =  n (2a + (n-1)b)
     =  10 (2 (5) + (10-1)2)
     = 5 (6+9) 2
     = 120

 Jawaban : B

---

3. Jika jumlah tak hingga dari deret geometri adalah 6 dan rasionya – , maka suku pertamanya adalah …..

a). 2
b). 3
c). 8
d). 10
e). 12

---

Penyelesaian :

S =
6 =
6 =
6 =
6 =
6 =
6 x a => 6 x 5 =  = 10

Jawaban : D

---

4. Jumlah tak hingga deret geometri adalah 6 + 2 +  +  adalah …..

a). 7
b). 6
c). 9
d). 10
e). 18

S =
a = 6
r =  =  =
S2 =  =  = 6
S2 = 6 x  =  = 9

Jawaban : C

---

5. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah …..
   

   ---

a). 345
b). 44
c). 49
d). -40
e). -44
Penyelesaian :

Un = a + (n-1)b
= a + (4-1)b = 11
= a + 36 = 11
U8 = a + (8-1)b = 23
= a + 7b = 23

Eliminasi a + 3b = 11
                a + 7b = 23
                     -4b = -12
                         b =  = 3
Substansi a + 3b = 11
                a + 3 (3) = 11
                a + 9 = 11
                      a = 11 – 9 = 2

U15
Un = a + (n-1) b
U15 = 2 + (15-1) 3
        = 2 + (14 x 3) = 44

Jawaban : B

---

6. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U2 = 7 dan U6 = 19. Suku ke 8 dari barisan aritmatika tersebut adalah …..

a). 25
b). 26
c). 28
d). 31
e). 34
Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
U2 = a + (2-1) b = 7
      = a + 1b = 7
U6 = a + (6-1)b = 19
       = a + 5b = 19

Eliminasi :

a + 1 b = 7
a + 5b = 19
 -4b = -12
b = –  = 3

 Subtitusi :

b = 3
a + 1 b = 7
a + 1 (3) = 7
a + 3 = 7
a = 7 -3 = 4
U8
Un = a + (n-1) b
U8 = 4 + (8-1) 3
= 4 + (7 . 3)
= 25

Jawaban : A

---

7. Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21. U20 barisan tersebut adalah …..

a). 69
b). 73
c). 77
d). 81
e). 83
Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
U10 = a + (10-1)b = 41
U5 = a + (5-1)b = 21
a + 4b = 21

eliminasi :

a + 9b = 41
a + 4b = 21
5b = 20
b =  = 4

subtitusi :

b = 4
a + 9b = 41
5 +a + (9.4) = 41
a + 36 = 41
a = 41- 36
= 5
U20
Un = a + (n-1)b
U20 = a + (n-1) b
U20 = 5 + (20+1) 4
        = 5 + (19.4)
        = 5 + 76
         = 81

Jawabannya : d).

---

8. Gaji seorang karyawan setiap bulan dinaikan sebesar Rp 5.000,00jika gaji pertama gajian tersebut Rp. 100.000 …..
   

   ---

a). Rp. 1.205.000
b). Rp. 1.255.000
c). Rp. 260.000.000
d). Rp. 1.530.000
Penyelesaian :

Sn =  n (2a + (n-1) b
12 (2 . 100.000) +(12-1)5000
= 6 (200.000+55.000)
= 6 (225.000) = 1.530.000

Jawabannya : d). 1.530.000

---

9. Sebuah perusahaan mempunyai peluang untuk menjual hasil pproduksinya0,65 jika di produksi 2.500.000unit brang, maka diperkiraan banyak hasil produksi yang tidak terjual adalah …..
   

   ---

a). 625.000 unit
b). 875.000 unit
c). 1.125.000 unit
d). 1.375.000 unit
e). 1.625.000 unit
Penyelesaian :

 . 2.500.000= 1.625.000
2.500.000 – 1.625.000 = 875.000 unit
Hasil produk yang terbaik terjual adalah

Jawaban : B

---

10. Suatu perusahaan pada tahun pertama memproduksi 5000 unit barang, pada tahun-tahun berikutnyaproduksinya turun secara tetap80 unit per tahun. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut memproduksi 3000 unit barang?
    

    ---

a). 24
b). 25
c). 26
d). 27
e). 28
Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b
3000 = 5000 + (n-1) (-80)
3000 = 5000 + (80n) + (80)
80n = 5000 – 3000 + 80
80n = 2000 + 80
80n = 2080
n = 2080 : 80 = 26

Jawaban : C

---

11. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari,dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un= 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah …..
    

    ---

a).2000
b).1950
c).1900
d).1875
e).1825
Penyelesaian :

Sn =  n (2a +(n-1)b)
S10 =  10 (2.75+(10-1)25)
S10 = 5 (150+(9.25)
S10 = 5 (150+225)
S10 = 5 (375)
S10 = 1875 buah

Jawaban : D

---

12. Dua piluh pekerja mendapat upah harian dengan hasil pekerjaannya sebagai berikut : pekerja 1 mendapat Rp.12.000, pekerja 2 mendapat Rp.12.500, pekerja 3 mendapat Rp.13.000 dan seterusnya hingga upah tersebut membentuk deret aritmatika. Jumlah upah satu hati yang harus disiapkan oleh pemberi upah adalah …..
    

    ---

a).Rp. 670.000
b).Rp. 340.000
c).Rp. 335.000
d).Rp. 220.000
e).Rp. 700.000
Penyelesaian :

Sn =  n (2a + (n-1)b)
S20 =
20 (2.12000+(20-1)500)
       =  20 (24000+19)500)
       = 10 (24000+9500)
       = 10 (33.500)
       = 335.000

Jawabannya : C

---

13. Diketahui Barisan geometri dengan suku pertama 2  dan suku ke 5 = 640,maka rasionya adalah …..

a).2
b).8
c).1
d).4
Penyelesaian :

a = 2
Un = a.r ^n-1
640 = 2  . r ^s-1
 =  r⁴
256 = r⁴
R^{4 = 256}
R = 4

Jawaban : D

---

14. Jika suku pertama suatu barisan geometri = 16 dan suku ketiga = 36, maka besar suku kelima adalah …..
    

    ---

a).-81
b).-52
c).-46
d).46
e).81
Penyelesaian :

a = 16
U3 = 36
Un = a r ^n-1
U3 = 16.r^3-1
36 = 16.r^2
 = r²
R^{2 =}
r =
r =
r =
U5 = 16 ( )^r-1
      = 16 ( )⁴
 = 16 .
      = 81

Jawaban : E

---

15. Seseorang berjalan kaki dengan kecepatan 8km/jam pada jam pertama. Kemudian pada jam keduakecepatan menjadi setengahnya dari jam pertama,demikian seterusnya. Jarak terjauh yang ditempuh orang tersebut adalah …..
    

    ---

a).4
b).8
c).12
d).14
e).16
Penyelesaian :

U1 = 8
U2 = 4
r =  =  =
S2 =
     =
     =  x
     = 16

Jawaban : E

---

Contoh 2.1

1. 1, 2, 3,… merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.
2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.
3. 1, -1, 1, -1,…. bukan barisan aritmatika sebab
   

   ---

U2 – U1 = -1 – 1 = -2 ? 2 = 1 – (-1) = U3 – U2

4. Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2.

Tentukan unsur ke 1, ke 3, dan ke 4 dari barisan itu.

---

Penyelesaian:

Karena b = Un – Un-1 = 2, maka U2 – U1 = 2. Jadi U1 = U2 – 2 = 10 – 2 = 8.
Secara sama diperoleh U3 – U2 = 2 = b. Jadi U3 = U2 + b = 10 + 2 = 12, dan
U4 = U3 + b = 12 + 2 = 14.

---

Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika

Jika U1 = a, U2, U3,…, Un,… merupakan barisan aritmatika, maka unsur
ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.

---

U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b
U4 = U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b
U5 = U4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b
?
Un = a + (n-1)b

---

Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur
pertama a dan beda b adalah:

Un = a + (n-1)b

Contoh 2.2
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2.
Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian:
Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n-1)b,
diperoleh

U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b
a = U2 – b
= 10 – 2
= 8.
U7 = a + (7-1) b
= a + 6 b
= 8 + 6 (2)
= 8 + 12
= 20.

Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.

---

Contoh 2.3
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun
tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun
2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak
Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya
naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada
akhir tahun 2005?
Penyelesaian:

---

Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.
Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap
akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak
Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari
barisan aritmatika dengan

---

U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005
adalah Rp 8.500.000,-
Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang
terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.

---

Contoh 2.4
Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….
Penyelesaian:
Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh
karena itu dengan menggunakan rumus Sn =

1
2
n[2a + (n -1)b] diperoleh:
S25 =
1
2
(25) [2(3) + (25 -1)(3)]
=
25
2
[6 + 24(3)]
=
25
2
(6 + 72)
= 25 (39)
= 975.

Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.

---

Contoh 2.5
Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.
Penyelesaian:
Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.
Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertamatama
kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n
dengan menggunakan rumus:

Un = a + (n – 1) b
99 = 51 + (n – 1)(2)
99 = 51 + 2n – 2
99 = 49 + 2n
2n = 99 – 49
n = 25.

---

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,

Sn =
1
2
n[2a + (n -1)b]
diperoleh:
S25 =
1
2
(25)[2(51) + (25 -1)(2)]
= 25(51 + 24)
= 25(75)
= 1.875.

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.